Verhoudingsgetallen, statistiek en Simpson’s Paradox

Optellen van verhoudingsgetallen (de vorm “teller per noemer”) geeft a / b + c / d = (a d + c b) / (b d).  Leraren tikken hun leerlingen op de vingers wanneer ze (a + c) / (b + d) gebruiken. Veronderstel dat 6 van 7 poezen binnenshuis zitten, alsook 2 van 10 katers, dus in totaal zijn er (6 + 2) / (7 + 10) = 8 / 17 katten binnenshuis. Ahum. Dit is toch wel degelijk de formule (a + c) / (b + d). Hoe zit het nu met het optellen van breuken of verhoudingen ?

Laten we hondenliefhebbers ook terwille zijn. Veronderstel dat 8 van 10 teven en 1 van 6 reuen binnenshuis zitten. Wederom vinden we dat (8 + 1) / (10 + 6) = 9 / 16 honden binnenshuis zitten. De formule (a + c) / (b + d) lijkt toch echt goed.

Met de formule zien we ook dat de vrouwtjes-huisdieren relatief vaker binnenshuis zitten, want 6 / 7 > 1 / 7 voor katten en 8 / 10 > 2 / 10 voor honden, en dan ook (6 + 8) / (7 + 10) = 14 / 17 > (1 + 2 ) / (7 + 10) = 3 / 17.

Met de formule zien we ook dat katten vaker in huis zitten dan honden. Voor de vrouwtjesdieren is het aandeel katten in huis met 6 / 7 groter dan het aandeel honden in huis met 8 / 10. Voor de mannetjesdieren is het aandeel katten in huis met 2 / 10 groter dan het aandeel honden in huis met 1 / 6. En samengenomen is het aandeel katten in huis met (6  + 2) / (7 + 10) = 8 / 17 groter dan het aandeel honden in huis met (8 + 1) / (10 + 6) = 9 / 16 ? Ahum. Hebben we nu wiskundig getoond dat 8 / 17 > 9 / 16 ?

Wat is dat nou weer ? Voor vrouwtjes apart en mannetjes apart zitten katten vaker in huis dan honden, maar negeren we de kunne dan zitten katten juist relatief minder in huis dan honden.

Of, mankeert er misschien toch iets aan die formule (a + c) / (b + d) ? Zijn al die vingertikken terecht ?

Het lijkt me het meest didactisch om de lezer hierop te laten puzzelen. Het antwoord staat uitgewerkt in de bronnen hieronder. Het gebruik van algebra is toegestaan. Zoals Liesbeth van der Plas opmerkt: “Je kunt immers niet uitleggen hoe je 1/a + 1/b uitrekent als de leerling nog moeite heeft met 1/3 + 1/5.” (WiskundE-brief 720).

Conclusies

Leerlingen ook in het basisonderwijs hebben in het feitelijk leven (“authentieke context”) direct te maken met statistiek. Geef dit gepaste aandacht. Het dogma van de breukoptelling kan onnodig veel inzicht beschadigen. Laat leerlingen zien wanneer de ene en wanneer de andere formule van toepassing is. Wanneer het basisonderwijs ook statistiek en Simpson’s paradox behandelt, kan het voortgezet onderwijs eerder aan algebra beginnen.

Thomas Colignatus, econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)

Links

Advertenties

Over Thomas Colignatus

Thomas Cool is an econometrician and teacher in mathematics in Scheveningen, Holland. He uses the name Colignatus is science to distinguish this from his other activitities in commerce or politics. His personal website is http://thomascool.eu
Dit bericht werd geplaatst in Rol van de wiskunde en getagged met , , , , . Maak dit favoriet permalink.