Eindelijk een degelijke verklaring voor differentialen

De differentialen dy en dx en hun quotient dy / dx vormen in de standaard aanpak zowel wiskundig als didactisch een grote uitdaging. De vondst in 2007 van de algebraische aanpak van de afgeleide leidt nu in 2016 tot de conclusies: (1) dat we beter dy // dx schrijven, en (2) dat Δx en dx beter onafhankelijk kunnen worden gehouden, dus zonder opleggen dat Δx = dx. Daarmee is na zo’n 300 jaar eindelijk een degelijke verklaring gevonden, die zich zowel wiskundig als didactisch inzichtelijk laat uitleggen.

In de syllabus 2018 VWO B p14 staat: “De kandidaat kent notaties voor de afgeleide en de tweede afgeleide van een functie.” Dat impliceert ook kennis van de notatie met differentialen dy en dx. In “Getal en ruimte” (2009) wordt dy / dx alleen als een notatie gepresenteerd. De onderliggende theorie der differentialen wordt niet besproken, want blijkbaar ook niet gevraagd, en het wordt denkelijk niet gevraagd omdat de praktijk toont dat het stugge lesstof is. In “Getal en ruimte” (1990) werd veel meer aandacht besteed aan de theorie, met limieten en continuiteit, maar de presentatie daar is ingewikkeld, en als het aantal uren wordt beperkt dan is schrappen daarvan logisch.

In 2007 ontwikkelde ik een algebraische aanpak van de afgeleide. Het blijkt mogelijk om hier een nette plaats te geven aan de differentialen. Deze theorie lijkt voor het huidige programma haalbaar. De beperkende factor blijkt niet het beschikbare aantal lesuren, maar de kwaliteit van de theorie. De standaard theorie is krom en verwarrend, en dan heb je meer tijd nodig. De nieuwe aanpak is inzichtelijk en het lijkt erop dat je er veel tijd mee kunt winnen, ook bij andere hoofdstukken. De differentialen zijn gewone differenties, maar wel met de definitie dyf ‘[x] dx. Per implicatie volgt direct dat dy // dx = f ‘[x] ≡ {Δf // Δx, zet Δx = 0}.

Links

Advertenties

Over Thomas Colignatus

Thomas Cool is an econometrician and teacher in mathematics in Scheveningen, Holland. He uses the name Colignatus is science to distinguish this from his other activitities in commerce or politics. His personal website is http://thomascool.eu
Dit bericht werd geplaatst in Rol van de wiskunde en getagged met , . Maak dit favoriet permalink.