Majeure stap t.a.v. didactiek van continuiteit en limiet

In het eindexamen 2018 VWO B komt de limiet terug. Academisch wordt eerst het limietbegrip en vervolgens daarmee continuiteit gedefinieerd. Didactici Vredenduin (1969), Van der Blij (1970) en Van Dormolen (1970) vonden het voor het VWO verstandiger om uit te gaan van intuitief begrepen continuiteit en daarmee het limietbegrip te definieren. Deze laatste aanpak past bij de algebraische aanpak van de afgeleide, ontwikkeld in 2007.

In de syllabus 2018 VWO B: “De kandidaat kan het asymptotisch gedrag van functies bepalen en dit met limietberekening aantonen.” In het examen 2017 wordt slechts verwezen naar kennis van het differentiaalquotient, maar er wordt niet specifiek op het gebruik van de limiet daarin getoetst. Aandacht voor de limiet is derhalve op zijn plaats.

Ondersteuning voor de algebraische aanpak van de afgeleide

Het toeval wil dat ik juist mijn gedachten over continuiteit heb afgerond. Daarbij kwam ik Wansink (1970) “Didactische Oriëntatie voor Wiskundeleraren” no III tegen, met daarin bijdragen van Fred van der Blij en Joop van Dormolen. Nader zoeken gaf ook Piet Vredenduin (1969) in Euclides 45 no 1. Deze auteurs brachten mij een verrassend inzicht: dat de limiet gedefinieerd kan worden uitgaande van het continuiteitsbegrip. Aangezien de reële getallen dit continuiteitsbegrip vangen, en daar een nette definitie voor bestaat (ruwweg: “oneindig aantal decimalen”), was hiermee een heldere didactiek gevonden. Maar het gaat verder. De aanpak door Vredenduin, Van der Blij en Van Dormolen blijkt ook een ondersteuning voor de algebraische aanpak van de afgeleide, die ik in 2007 ontwikkelde. In het gelinkte memo daarover heb ik de relevante passages van deze auteurs opgenomen zodat men dit gemakkelijk kan nagaan.

PS. Een vraag is welke limiet het eindexamen 2018 gaat toetsen: Cauchy of Weierstrasz, of die aanpak van Vredenduin, Van der Blij en Van Dormolen, of wat anders ? Ik heb daarover geen aanduiding gevonden, ook niet in de Handreiking van cTWO uit 2011. Vanzelfsprekend is Weierstrasz de academische norm, maar voor het onderwijs werd in het recente verleden vaak volstaan met een afgezwakte vorm van Cauchy, ook nog zonder het expliciet construeren van rijtjes: Bijv. voor 1 / x hoeft de leerling slechts te zeggen dat substitutie in x met steeds groter getallen een limiet van 0 oplevert. Echter, Alders 1965 Algebra III (26e druk) heeft een net hoofdstuk “Limieten”, begint op pag 14 netjes met rijtjes, en geeft op pag 23 netjes Weierstrasz. Maar het lijkt er niet op dat hij veel op Weierstrasz oefende: de voorbeelden betreffen vooral algebraische vereenvoudigingen. Alvorens CvTE te vragen welke nadere eisen t.a.v. de limiet worden gesteld, lijkt het me nuttig de aandacht te vestigen op mijn memo over continuiteit, en betekenis voor afgeleide en limiet.

Links

Advertenties

Over Thomas Colignatus

Thomas Cool is an econometrician and teacher in mathematics in Scheveningen, Holland. He uses the name Colignatus is science to distinguish this from his other activitities in commerce or politics. His personal website is http://thomascool.eu
Dit bericht werd geplaatst in Rol van de wiskunde en getagged met , , , . Maak dit favoriet permalink.