Draaicirkel en draaischijf met maat 1 voor goniometrie

Er bestaan een cirkel met omtrek 1 en een schijf met oppervlakte 1. De notie van “draai in het rond” kan gebruik maken van zowel omtrek als oppervlakte. Het inkleuren van sectoren lijkt soms inzichtelijker.

Een hoek is een deel van het platte vlak omsloten door twee halfrechten vanuit een gezamenlijk punt. De hoek kan worden gemeten met het platte vlak zelf als eenheid van meting. We kijken dan ook naar de cirkel met omtrek 1. Daar tellen we het aantal draaien in het rond als fractie van een hele draai in het rond. Noem dit de “draai-cirkel”. Een hoek van 25% is een rechte hoek. Ik deed hiervan verslag in de WiskundE-brief 456 van 12 mei 2008.

Nieuws

Nu in 2016 realiseer ik me: er bestaat ook een schijf met oppervlakte 1. Deze schijf meet in feite hetzelfde: ook weer het aantal draaien in het rond. Noem dit de “draai-schijf”. Dus zowel omtrek als oppervlakte kunnen worden gebruikt voor meting van het aantal draaien in het rond. De maatstaf van 1 is gelijk, zodat het denken in termen van slagen in het rond ook gelijk blijft.

Didactiek van basisschool naar eindexamen

Leerlingen op de basisschool leren al over hoeken. Bijv. via Tangram ontstaat gevoel voor additiviteit (Tal-team, Meetkunde, 2004). Verrassend genoeg lijkt oppervlakte moeilijker dan lengte. Pierre van Hiele vond dat Jean Piaget hierover spraakverwarring veroorzaakte. Voor de basisschool bestaat er aldus de optie om cirkelsectoren in te kleuren, ook met maat 1. Wanneer in het prille begin al van sectoren gebruik zou worden gemaakt, dan zal de aandacht uiteindelijk toch in stappen naar booglengte moeten verschuiven, eerst naar omtrek 1 en uiteindelijk naar radialen. Die overgangen zouden sneller kunnen wanneer het fundamentele hoekbegrip bij de leerlingen al goed is ontwikkeld. Het denken in termen van 360 graden zou ik afraden. Het is “een weetje” voor je culturele ontwikkeling maar het leidt de aandacht af van 1 en de radialen.

Formules

Er zijn ook de formules voor omtrek en oppervlakte. Een cirkel is de verzameling punten op gelijke afstand van een middelpunt. Dit is een omtrek. De oppervlakte van een cirkel is derhalve nul. Een schijf is de verzameling van punten omschreven door een cirkel. Dit is een oppervlakte. Die is proportioneel met het kwadraat van de straal, als π r2. Een cirkel of omtrek van een schijf is proportioneel met de straal, als Θ r, met “archi” = Θ = 2π. Van belang zijn de functies Xur en Yur, met “ur” van “Unit Radius”. Voor hoek (draai) α geldt {X, Y} = {Xur[α], Yur[α]} = {Cos[α Θ], Sin[α Θ]}. Het kiezen van aparte symbolen {X, Y} voor de punten op de eenheidscirkel is van belang, want X2 + Y2 = 1.

Figuur

In de figuur is hoek α (“angle”) de boog AB langs de draaicirkel, alsook de sector OCD (“hook”) op de draaischijf. Wanneer de sector wordt uitgebreid naar de eenheidscirkel, dan mag dit een Pi-hoek (“Pi-hook”) genoemd worden, want zijn waarde is α π.

Empirische toetsing

Ik vermoed dat deze aanpak van het hoekbegrip didactische voordelen heeft. Het lijkt mij althans een kansrijke hypothese. Empirisch onderzoek moet uiteraard tonen wat voor leerlingen het beste werkt.

Een wonderlijke discussie over π versus 2 π

Er was discussie in NewScientist.nl 14 maart 2016 en Euclides 91-7 (juni) pag 7 over enerzijds π (oppervlakte van de eenheidsschijf) en anderzijds 2 π (omtrek van de eenheidscirkel) als norm. Die discussie daar gaat over wat wiskundig fundamenteler zou zijn, en dat is een wonderlijke discussie. Didactisch geldt dat het nuttig is beide symbolen in Θ = 2 π beschikbaar te hebben, namelijk om naast elkaar te kunnen gebruiken. Het gebruik van τ (tau) raad ik af want het lijkt teveel op het symbool voor de straal r, zeker in het handschrift van leerlingen. Merk ook op dat die wiskundigen langs elkaar heen praten, over ofwel π (oppervlakte) ofwel 2π (omtrek), want wanneer je niet op 1 normeert kom je nooit tot hetzelfde.

Thomas Colignatus
Econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008), Scheveningen

Relevante links:

Advertenties

Over Thomas Colignatus

Thomas Cool is an econometrician and teacher in mathematics in Scheveningen, Holland. He uses the name Colignatus is science to distinguish this from his other activitities in commerce or politics. His personal website is http://thomascool.eu
Dit bericht werd geplaatst in Rol van de wiskunde en getagged met , , , , . Maak dit favoriet permalink.