Traditionele, realistische, of (neo-)klassieke didactiek

De tweekamp tussen realistische en traditionele didactieken heeft veel aandacht getrokken. Maar er bestaan ook andere didactieken. Belangrijker zelfs zijn de (neo-) klassieke didactieken. Gangbare wiskunde kan krommigheden bevatten zodat je geen wiskunde maar “wiskunde” hebt. Zie de voorbeelden hieronder.

  • Definitie 1: Wanneer deze krommigheden hersteld worden, krijg je klassieke didactiek.
  • Definitie 2: Wanneer dit didactisch verder verbeterd wordt, krijg je neoklassieke didactiek.

Een voorbeeld is de notatie van gemengde breuken zoals twee-en-een-half, met de traditionele notatie van 2½. Klassiek is het beter om 2 + ½ zo te laten staan. De traditionele notatie van 2½ kan als 2 maal ½ gelezen worden, zoals 2x. Standaard betekent “naast elkaar staan” dat je moet vermenigvuldigen, vgl. 2 km. Derhalve is 2½ een uitzondering op de regel, en welbeschouwd dan krom. Je ziet kinderen soms ook spelen met 23 = 2 3 = 6, wanneer ze leren dat naast elkaar schrijven een vermenigvuldiging betekent.

De grote kosten van deze notatie liggen in het aan- en afleren van begrippen en notaties. Wie eerst leert dat 2½ staat voor een optelling, heeft moeite om dat vervolgens te gaan zien als een uitzondering op vermenigvuldiging. De notaties zijn niet verwaarloosbaar, want vormen een extern geheugen voor wat er bedoeld wordt, en zijn het medium voor communicatie.

Niet de werkelijke kosten maar wel een symptoom vormen de fouten die nog op hogere leeftijd gemaakt kunnen worden. Een leerling die met 2½ geen fout maakt kan helaas echter in handschrift per ongeluk ietwat ruimte schrijven, die soms dan weer als spatie wordt gelezen, en dan ontstaat een uitkomst als 2 ½ = 1. Zo’n leerling is niet onmiddellijk een sloddervos of iemand die het niet begrijpt, maar volgt de basisafspraak voor vermenigvuldigen.

Een argument om de vorm 2½ te gebruiken is dat je anders vaker haakjes moet gebruiken, zoals bij (2 + ½)(2 + ½). Het lijkt me echter juist goed om vroeg met haakjes te beginnen.

Pierre van Hiele wilde breuken al in 1973 afschaffen

Pierre van Hiele keek in 1973 naar de mogelijkheid breuken af te schaffen door meteen met machten te werken, waarbij ½ = 2-1. Inderdaad is dit eleganter en geeft beter wiskundig denken. De notatie y / x geeft extra werk zonder inzicht. De copyrights van diens boek Begrip en inzicht zouden door de NVVW moeten worden verworven, en het boek online gezet.

Nieuw uit 2014 is een neoklassieke aanpak door H = -1 te gebruiken, met H uit te spreken als “eta”. Bij 2^(-1) kunnen leerlingen denken dat ze nog iets met die -1 moeten uitrekenen. Met gebruik van H verdwijnt dat, en komt de eigenlijke algebra naar voren. De neoklassieke aanpak van breuken is dan xH, uit te spreken als “per x“. Wat x^H betekent zie je door de grondregel dat x xH = 1, voor x ongelijk 0.

Leerlingen die rangwoorden (eerste, tweede, derde, vierde, …) hebben geleerd, moeten deze preciese betekenis ook weer afleren, door deze termen ook op breuken en taartpunten toe te passen (een-eende, half, een-derde, een-vierde, …). De logica in deze woordkeus is ver te zoeken. Met gebruik van “per” is dit opgelost.

De (neo-) klassieke didactieken zijn nieuw en vergen bewuste aandacht

Met dit voorbeeld van breuken zijn definities van (neo-) klassieke didactiek hopelijk duidelijk. Met dit onderscheid in didactieken laat zich ook verduidelijken hoe psychometristen (ook bij CITO) invalide toetsen kunnen ontwerpen. Een som die 2½ gebruikt toetst zogenaamde “wiskunde” maar niet de echte wiskunde van 2 + ½ of 2 + 2H. Het Deltaplan Wiskunde spreekt over opleiding en nascholing van leraren wiskunde maar kent deze verschillende didactieken niet en negeert het verschil tussen “wiskunde” en wiskunde.

Het zal tijd en aandacht kosten om de krommigheden te vervangen door (neo-) klassieke netheid. Maar laat men zich bewust zijn van het probleem en het steeds benoemen. Het is o zo verleidelijk om te denken dat leerlingen die moeite hebben met “wiskunde” zich maar moeten voegen naar de traditie.

(Met dank aan de redactie van de WiskundE-brief voor kritische opmerkingen)

Bronnen:

 

Advertenties

Over Thomas Colignatus

Thomas Cool is an econometrician and teacher in mathematics in Scheveningen, Holland. He uses the name Colignatus is science to distinguish this from his other activitities in commerce or politics. His personal website is http://thomascool.eu
Dit bericht werd geplaatst in Rol van de wiskunde en getagged met , , , , , , . Maak dit favoriet permalink.