Een betere didactiek voor kwadratische functies

Neem de kwadratische functie f[x] = x2, vervorm die met coëfficiënt a en verplaats deze h stappen horizontaal en v stappen vertikaal. Je krijgt dan de functie f[x] = a (x − h)2 + v. Uit deze basisvorm is het draaipunt (h, v) van de parabool direct af te lezen. Ook de nulpunten volgen eenvoudig. Dit is grafisch allemaal direct te tonen.

Het bovenstaande vormt een veel betere didactiek voor kwadratische functies dan de traditionele aanpak die uitgaat van het polynoom f[x] = ax2 + bx + c. Voor het leerproces is deze polynoom als startpunt irrelevant en werkt deze juist antididactisch.

PM. Parameter a rekt, krimpt of spiegelt. Met h > 0 gaat de grafiek naar rechts, met h < 0 naar links. Met v > 0 gaat de grafiek omhoog, met v < 0 omlaag. Ik gebruik liever de term “draaipunt” dan “top”, want wat is de “top” van een dalparabool ?

Abstractie contra empirie

Wiskundigen zijn getraind tot abstract denken terwijl onderwijs een empirische zaak is. Wanneer je die twee zaken door elkaar haalt, geeft dat in het onderwijs veel ellende. Dit heb ik met veel voorbeelden
toegelicht in mijn boek “Elegance with Substance” (2009, 2015). Onlangs zag ik in dat ook de kwadratische functie onder die misplaatste abstractie lijdt.

Waar de traditionele aanpak van de kwadratische functie vandaan komt mogen historici uitzoeken. Is het een residu van vroege ontdekkingen rond 1500 voor Christus? Of komt het inderdaad voort uit de abstracte wiskundige theorie rond polynomen? Voor leerlingen is het polynoom in ieder geval niet inzichtelijk. De “basisvorm” f[x] = a (x − h)2 + v biedt leerlingen daarentegen meteen een mooi inzicht. Door het kwadraat uit te werken, kan het polynoom daarna eenvoudig worden gevonden. De parameters h en v kunnen dan direct worden uitgedrukt in termen van a, b en c. Met deze relaties kunnen andersom a, b en c weer worden uitgedrukt in a, h en v.

Liever inzicht dan rekentrucs

De abc-formule geeft de nulpunten van de kwadratische polynoomvorm, en minimaliseert de rekenstappen, wanneer factoren niet meteen gezien worden. Het is handig, maar het is een didactisch inversie om het algemene geval vanaf het begin centraal te stellen. De focus van het onderwijs kan beter liggen bij inzicht dan bij zo’n inverse rekentruc. Pas wanneer het inzicht bestaat wat zo’n
parabool nu is, dan ontstaat de vervolgstap om bij een gegeven polynoom de nulpunten te vinden, en ontstaat belangstelling voor de abc-formule.

Wanneer je binnen het onderwijs kwadratische functies snel inzichtelijk kunt maken, ontstaat er ook ruimte voor het behandelen van de complexe oplossingen van kwadratische vergelijkingen. Dat is geen gekke gedachte: kinderen zijn bij verantwoorde didactiek tot verrassend veel in staat. Pierre van Hiele (1909-2010) stelde bijvoorbeeld voor al op de basisschool met vectoren te beginnen.

Praktijkstudies

Hoe laat je kinderen het beste kennis maken met wiskunde? Hoe bied je leerlingen de beste wiskundige inzichten? Het zijn de leerlingen die bepalen wat werkt en dat valt alleen te bepalen met behulp van praktijkstudies. Daar moeten dan wel middelen voor vrijgemaakt worden. Daarom pleit ik sinds 2008 voor een parlementair onderzoek met betrekking tot het wiskundeonderwijs.

Ik adviseer u deze links:

Advertenties

Over Thomas Colignatus

Thomas Cool is an econometrician and teacher in mathematics in Scheveningen, Holland. He uses the name Colignatus is science to distinguish this from his other activitities in commerce or politics. His personal website is http://thomascool.eu
Dit bericht werd geplaatst in Rol van de wiskunde en getagged met , , , . Maak dit favoriet permalink.